Sistem Koordinat Kartesius dan Persamaan Garis Lurus

$[Sistem-Koordinat-Kartesius]$

Misal diketahui dua titik sembarang yaitu $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$, maka dapat dicari jarak antara dua titik tersebut sebagai berikut:

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

dan koordinat titik tengahnya adalah:

$(x_t,y_t)=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ adalah $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, persamaan ini disebut bentuk standar persamaan lingkaran.

$[Persamaan-Garis-Lurus]$

Suatu persamaan garis lurus yang memiliki gradien $m$ dan memotong sumbu-$y$ di $c$ adalah:

$y=mx+c$.

Gradien $m$ dapat dicari menggunakan rumus $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Misalkan terdapat dua buah garis lurus yang masing-masing memiliki gradien $m_1$ dan $m_2$, apabila kedua garis sejajar maka $m_1=m_2$,

dan apabila kedua garis saling tegak lurus, maka $m_1*m_2=-1$.

Misalkan suatu garis lurus menyinggung sebuah lingkaran, maka garis tersebut tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.

$[Latihan-Soal]$

1) Gambarkan titik (-3,5) dan (2,-2) pada bidang koordinat, kemudian tentukan jarak antara dua titik tersebut dan tentukan koordinat titik tengah ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.

2) Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (-2,3) dan jari-jari 4.

3) Tentukan gradien dari garis yang melalui titik (2,3) dan (-5,-6).

4) Tentukan persamaan garis lurus yang memotong sumbu-y di 3 dan memiliki gradien 2.

Mencari Solusi Akar Persamaan Non-linier Menggunakan Newton Raphson

Newton Raphson merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mencari solusi dari suatu persamaan nonlinear. Metode ini paling banyak digunakan untuk mencari akar–akar dari suatu persamaan. Dibutuhkan nilai perkiraan awal yang kira-kira mendekati nilai akar, jika perkiraan awal dari akar adalah xi maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik {xi, f(xi)}. Garis singgung yang terbentuk memotong sumbu x dan mendapatkan suatu nilai x baru, sehingga nilai x baru memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar. Garis singgung disebut juga dengan kemiringan yang nilainya juga bisa dicari menggunakan konsep turunan. 

Perhatikan ilustrasi berikut!

Warna merah pada grafik menunjukkan suatu fungsi non-linier yang diketahui dan akan dicari solusi dari akarnya melalui pendekatan (misalkan xn). xo merupakan nilai tebakan awal sehingga selanjutnya muncul nilai x baru sampai xn yang paling mendekati akar, sedangkan f(x) adalah fungsi dari suatu nilai x.

Perhatikan algoritma metode Newton Raphson berikut!

1. Definisikan fungsi f(x) dan f'(x) - [f'(x) merupakan turunan pertama/gradien/kemiringan],

2. Tentukan batas toleransi error (e) atau iterasi maksimum (n),

3. Tentukan nilai pendekatan awal xo,

4. Hitung f(xo) dan f'(xo),

5. Untuk iterasi 1 sampai n atau $\left | \frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}} \right |>e$  hitunglah: ${x_{i+1}}=x_i-\frac{f(x_{i})}{f'(x_{i})}$, dimana awalnya i=0 sampai iterasi maksimum atau sampai $\left | \frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}} \right |<e$,

6. Solusi akar persamaan adalah nilai ${x_{i}}$ terakhir yang diperoleh pada iterasi maksimum atau memenuhi aturan error  $\left | \frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}} \right |<e$.

Contoh soal:

1. Hitunglah salah satu akar dari persamaan berikut: $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{5}}$

    Persamaan tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Contoh Iterasi 1:        

             Misal diketahui $x_0=3$ dan batas $e=0,001$.                                                   

            $f(x_0)=x_0^{3}-\frac{1}{x_0^{5}}$            

            $f(x_0)=3^{3}-\frac{1}{3^{5}}$                        

            $f(x_0)=27-\frac{1}{243}$

            $f(x_0)=26,9959$.

        $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{5}}$

            $f'(x)=3x^{2}+\frac{5}{x^6}$

            $f'(x_0)=3x_0^2+\frac{5}{x_0^6}$

            $f'(x_0)=3*3^2+\frac{5}{3^6}$

            $f'(x_0)=27,0069$.

            $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

            $x_1=3-\frac{26,9959}{27,0069}$

            $x_1=2,0004$.

            $f(x_1)=x_1^{3}-\frac{1}{x_1^{5}}$            

            $f(x_1)=2,0004^{3}-\frac{1}{2,0004^{5}}$                        

            $f(x_1)=7,9737$.

            $e=\left | \frac{x_1-x_0}{x_1} \right |$

            $e=\left | \frac{2,0004-3}{2,0004} \right |$

            $e=0,4997>0,001$.

Karena belum memenuhi batas error sehingga dilanjutkan iterasi 2 dan seterusnya sampai memenuhi batas $e<0,001$ seperti terlihat pada tabel berikut.

Berdasarkan tabel di atas, proses perhitungan berhenti pada iterasi ke 5 serta saat nilai $e=0,0001$ dan lebih kecil dari $e=0,001$. Sehingga diperoleh nilai akar adalah 1,0000 dan $f(x)=0,0000$. 

           

2. Hitunglah salah satu akar dari persamaan berikut: $f(x)=x^{2}+0.5x^{3}$

    Persamaan tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Contoh Iterasi 1:       

             Misal diketahui $x_0=-1,8$ dan batas $e=0,001$.

            $f(x_0)=x_0^{2}+0,5 x_0^{3}$  

            $f(x_0)=-1,8^{2}+0,5*(-1,8^{3})$ 

            $f(x_0)=3,24+0,5*({-5,832})$

            $f(x_0)=3,24-2,916$

            $f(x_0)=0,3240$.                              

            $f(x)=x^{2}+0,5x^3$

            $f'(x)=2x+1,5x^2$

            $f'(x_0)=2x_0+1,5x_0^2$

            $f'(x_0)=2*(-1,8)+1,5*(-1,8)^2$

            $f'(x_0)=1,2600$.

            $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

            $x_1=-1,8-\frac{0,3240}{1,2600}$

            $x_1=-2,0571$.

            $f(x_1)=x_1^{2}+0,5x_1^3$         

            $f(x_1)=-2,0571^{2}+0,5*(-2,0571)^3$                        

            $f(x_1)=-0,1209$.

            $e=\left | \frac{x_1-x_0}{x_1} \right |$

            $e=\left | \frac{-2,0571-(-1,8)}{-2,0571} \right |$

            $e=0,1250>0,001$.

Karena belum memenuhi batas error sehingga dilanjutkan iterasi 2 dan seterusnya sampai memenuhi batas $e<0,001$ seperti terlihat pada tabel berikut.

Berdasarkan tabel di atas, proses perhitungan berhenti pada iterasi ke 4 serta saat nilai $e=0,0000$ dan lebih kecil dari $e=0,001$. Sehingga diperoleh nilai akar adalah -2,0000 dan $f(x)=0,0000$. 

THE END