Sistem Koordinat Kartesius dan Persamaan Garis Lurus

$[Sistem-Koordinat-Kartesius]$

Misal diketahui dua titik sembarang yaitu $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$, maka dapat dicari jarak antara dua titik tersebut sebagai berikut:

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

dan koordinat titik tengahnya adalah:

$(x_t,y_t)=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ adalah $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, persamaan ini disebut bentuk standar persamaan lingkaran.

$[Persamaan-Garis-Lurus]$

Suatu persamaan garis lurus yang memiliki gradien $m$ dan memotong sumbu-$y$ di $c$ adalah:

$y=mx+c$.

Gradien $m$ dapat dicari menggunakan rumus $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Misalkan terdapat dua buah garis lurus yang masing-masing memiliki gradien $m_1$ dan $m_2$, apabila kedua garis sejajar maka $m_1=m_2$,

dan apabila kedua garis saling tegak lurus, maka $m_1*m_2=-1$.

Misalkan suatu garis lurus menyinggung sebuah lingkaran, maka garis tersebut tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.

$[Latihan-Soal]$

1) Gambarkan titik (-3,5) dan (2,-2) pada bidang koordinat, kemudian tentukan jarak antara dua titik tersebut dan tentukan koordinat titik tengah ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.

2) Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (-2,3) dan jari-jari 4.

3) Tentukan gradien dari garis yang melalui titik (2,3) dan (-5,-6).

4) Tentukan persamaan garis lurus yang memotong sumbu-y di 3 dan memiliki gradien 2.

Mencari Solusi Akar Persamaan Non-linier Menggunakan Newton Raphson

Newton Raphson merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mencari solusi dari suatu persamaan nonlinear. Metode ini paling banyak digunakan untuk mencari akar–akar dari suatu persamaan. Dibutuhkan nilai perkiraan awal yang kira-kira mendekati nilai akar, jika perkiraan awal dari akar adalah xi maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik {xi, f(xi)}. Garis singgung yang terbentuk memotong sumbu x dan mendapatkan suatu nilai x baru, sehingga nilai x baru memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar. Garis singgung disebut juga dengan kemiringan yang nilainya juga bisa dicari menggunakan konsep turunan. 

Perhatikan ilustrasi berikut!

Warna merah pada grafik menunjukkan suatu fungsi non-linier yang diketahui dan akan dicari solusi dari akarnya melalui pendekatan (misalkan xn). xo merupakan nilai tebakan awal sehingga selanjutnya muncul nilai x baru sampai xn yang paling mendekati akar, sedangkan f(x) adalah fungsi dari suatu nilai x.

Perhatikan algoritma metode Newton Raphson berikut!

1. Definisikan fungsi f(x) dan f'(x) - [f'(x) merupakan turunan pertama/gradien/kemiringan],

2. Tentukan batas toleransi error (e) atau iterasi maksimum (n),

3. Tentukan nilai pendekatan awal xo,

4. Hitung f(xo) dan f'(xo),

5. Untuk iterasi 1 sampai n atau $\left | \frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}} \right |>e$  hitunglah: ${x_{i+1}}=x_i-\frac{f(x_{i})}{f'(x_{i})}$, dimana awalnya i=0 sampai iterasi maksimum atau sampai $\left | \frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}} \right |<e$,

6. Solusi akar persamaan adalah nilai ${x_{i}}$ terakhir yang diperoleh pada iterasi maksimum atau memenuhi aturan error  $\left | \frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}} \right |<e$.

Contoh soal:

1. Hitunglah salah satu akar dari persamaan berikut: $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{5}}$

    Persamaan tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Contoh Iterasi 1:        

             Misal diketahui $x_0=3$ dan batas $e=0,001$.                                                   

            $f(x_0)=x_0^{3}-\frac{1}{x_0^{5}}$            

            $f(x_0)=3^{3}-\frac{1}{3^{5}}$                        

            $f(x_0)=27-\frac{1}{243}$

            $f(x_0)=26,9959$.

        $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{5}}$

            $f'(x)=3x^{2}+\frac{5}{x^6}$

            $f'(x_0)=3x_0^2+\frac{5}{x_0^6}$

            $f'(x_0)=3*3^2+\frac{5}{3^6}$

            $f'(x_0)=27,0069$.

            $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

            $x_1=3-\frac{26,9959}{27,0069}$

            $x_1=2,0004$.

            $f(x_1)=x_1^{3}-\frac{1}{x_1^{5}}$            

            $f(x_1)=2,0004^{3}-\frac{1}{2,0004^{5}}$                        

            $f(x_1)=7,9737$.

            $e=\left | \frac{x_1-x_0}{x_1} \right |$

            $e=\left | \frac{2,0004-3}{2,0004} \right |$

            $e=0,4997>0,001$.

Karena belum memenuhi batas error sehingga dilanjutkan iterasi 2 dan seterusnya sampai memenuhi batas $e<0,001$ seperti terlihat pada tabel berikut.

Berdasarkan tabel di atas, proses perhitungan berhenti pada iterasi ke 5 serta saat nilai $e=0,0001$ dan lebih kecil dari $e=0,001$. Sehingga diperoleh nilai akar adalah 1,0000 dan $f(x)=0,0000$. 

           

2. Hitunglah salah satu akar dari persamaan berikut: $f(x)=x^{2}+0.5x^{3}$

    Persamaan tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Contoh Iterasi 1:       

             Misal diketahui $x_0=-1,8$ dan batas $e=0,001$.

            $f(x_0)=x_0^{2}+0,5 x_0^{3}$  

            $f(x_0)=-1,8^{2}+0,5*(-1,8^{3})$ 

            $f(x_0)=3,24+0,5*({-5,832})$

            $f(x_0)=3,24-2,916$

            $f(x_0)=0,3240$.                              

            $f(x)=x^{2}+0,5x^3$

            $f'(x)=2x+1,5x^2$

            $f'(x_0)=2x_0+1,5x_0^2$

            $f'(x_0)=2*(-1,8)+1,5*(-1,8)^2$

            $f'(x_0)=1,2600$.

            $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

            $x_1=-1,8-\frac{0,3240}{1,2600}$

            $x_1=-2,0571$.

            $f(x_1)=x_1^{2}+0,5x_1^3$         

            $f(x_1)=-2,0571^{2}+0,5*(-2,0571)^3$                        

            $f(x_1)=-0,1209$.

            $e=\left | \frac{x_1-x_0}{x_1} \right |$

            $e=\left | \frac{-2,0571-(-1,8)}{-2,0571} \right |$

            $e=0,1250>0,001$.

Karena belum memenuhi batas error sehingga dilanjutkan iterasi 2 dan seterusnya sampai memenuhi batas $e<0,001$ seperti terlihat pada tabel berikut.

Berdasarkan tabel di atas, proses perhitungan berhenti pada iterasi ke 4 serta saat nilai $e=0,0000$ dan lebih kecil dari $e=0,001$. Sehingga diperoleh nilai akar adalah -2,0000 dan $f(x)=0,0000$. 

THE END

    

    

 

Mengapa Belajar Matematika?

Sebagian besar orang beranggapan matematika itu sangatlah sulit. Bahkan ada yang beranggapan matematika adalah ilmu yang mematikan, mengapa bisa demikian ya sob? apa benar dengan matematika kamu akan berhenti bernafas, atau kamu tidak akan bisa melakukan hal yang lainnya ketika ada tugas matematika, atau kamu kehilangan banyak waktu karena belajar matematika?

Lazimnya warga Indonesia kalau sudah terdoktrin akan satu hal maka yang lainnya suka ikut-ikutan. Tapi ga harus demikian ya! Salutnya kita, para orang tua umumnya suka mengajarkan kepada anak-anaknya hal yang berbau matematika. Ingat ga dulu waktu kecil kita selalu menggunakan jari-jari sebagai media berhitung dan mulut yang tak berhenti bersuara menyebut angka setiap hari. Hal tersebut menjadi pertanda kalau Matematika itu dibutuhkan bahkan ketika umur-umur kita bertambah.

Berbicara masalah waktu, tidak salahnya kita mengulik masalalu. Matematika menjadi salah satu ilmu kuno yang sudah ada sejak ribuan tahun silam. Matematika berasal dari bahasa latin "mathematika" yang awalnya dari bahasa Yunani "mathematike" yang artinya mempelajari. Pada awal perkembangan Matematika di Yunani dikenal dengan Matematika Yunani yaitu yang ditulis dalam bahasa Yunani sekitar tahun 600-300 SM. Pada zaman Yunani ini lahirlah ilmuwan matematika terkenal antara lain Thales, Phythagoras, Aristoteles, dan Plato.

Umumnya belajar matematika berhubungan dengan hafalan rumus-rumus dan juga terkenal akan buku pelajaran yang tebal, sehingga membuat siswa merasa bosan bahkan jenuh dalam belajar matematika. Karena itu seringkali muncul pertanyaan kenapa kita belajar matematika, apa manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari? Sikap tersebut lebih baik dihilangkan dari pemikiran pelajar dengan cara mengubah proses belajar Matematika yang menyenangkan dan menawarkan manfaat nyata dalam kehidupan sehari-hari.  

Matematika terus berkembang hingga saat ini, berbagai disiplin ilmu dipelajari melalui matematika, tidak heran kalau matematika jadi objek vital bagi pengetahuan dunia saat ini. Implementasi matematika ditemukan dalam berbagai aspek kehidupan antara lain dalam bidang ekonomi, bisnis, keuangan, sains, sosial, teknologi, sipil, dsb. Sedangkan konsep matematika yang cukup populer digunakan untuk implementasi tersebut antara lain konsep aljabar, differensial, trigonometri, optimasi, statistika, komputasi, dsb. Konsep tersebut dapat membuktikan kalau matematika tidak sekedar hitung-hitungan yang tidak pasti, lebih dari itu bisa menjadi media yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari.

Matematika dapat melatih cara kita bekerja, berpikir kritis, bernalar, berlogika, menganalisa suatu masalah, hingga mendapatkan solusi. Maka tidak heran kalau umumnya orang yang suka matematika memiliki tingkat kepintaran yang lebih tinggi dari biasanya. Dari beberapa uraian tersebut menjelaskan kalau kita harus belajar Matematika karena banyak sekali manfaat yang bisa didapatkan untuk diimplementasikan dalam kehidupan sehari-hari.

Welcome, Hello guys

Welcome guys,

Kenapa masih ada yang suka bete kalau dengar matematika?  

Apakah matematika semengeri itu?

atau KAMU salah satunya yang TIDAK suka Matematika?

Padahal matematika dibutuhkan dimana-mana lho!!!, 

percayalah banyak orang yang suka matematika, hidupnya selalu terhibur dengan angka-angka.

Tapi jangan khawatir!!!, kamu bisa juga SUKA matematika kok.

Ikuti terus Baja Hitam Math yok/